Matemáticas VI " Máximos y Mínimos "

Para Recordar

Teorema de la existencia de máximos y mínimos

Si f es continua en un intervalo cerrado (a,b), entonces f alcanza un valor máximoy un valor mínimo en ese intervalo.
Crecimiento y decrecimiento.
Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto:
 Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva  Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa. Es decir,
Si Si
Como  ,es decir, la función es creciente en
En este caso  , es decir, la función es decreciente en x = a Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente.
Se procede de la siguiente forma:
• Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante • Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos. • Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.
Ejemplo 1.
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
Hallamos la derivada: La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante: 
Dividimos el dominio R por los puntos 3 y 1 y obtenemos los intervalos , y
Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = 0, , es decir, positiva Para x = 2, , es decir, negativa Para x = 4, , positiva
La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla: Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞) Signo de la derivada + - + Función   
Máximos y mínimos. Son los puntos en que la función cambia de monotonía.
 Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto , entonces
En el punto de abscisa x = c la función pasa de creciente a decreciente
Geométricamente significa que la tangente en el punto x = c es horizontal
 Si y existe la segunda derivada, se verifica: Si , hay un mínimo relativo en el punto c
Si , hay un máximo en dicho punto.
Demostración: Lo hacemos para el caso de mínimo: Si la función es creciente en c luego Y como , , es decir, la derivada es negativa a la izquierda de c (función decreciente) y positiva a la derecha (función creciente), por tanto, existe mínimo relativo en c.
Para la determinación de máximos y mínimos podemos utilizar los siguientes criterios:
Criterio de la primera derivada:
• Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento. • Existe máximo relativo en los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente. • Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente.
Criterio de la segunda derivada: • Calculamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante. • Hallamos la segunda derivada. • Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada. • Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo.
Ejemplo 2.
Halla los máximos y mínimos de la función Hallamos la primera derivada y resolvemos la ecuación :  
2ª derivada:
Valores de la segunda derivada en los puntos obtenidos: 
 mínimo para x = - 1
  máximo para x = 1

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esperando que todos uds . esten bien de salud. Prof. Jaime Gracia